Jon Gjesme er født og opvokset i Norge. Han har i en årrække været koncertmester i Det Kongelige Kapel og tidligere været koncertmester i Oslo Filharmonien. I januar 2012 startede han som koncertmester i Sjællands Symfoniorkester.
Sideløbende med sine koncertmesterstillinger har han haft en omfattende solistkarriere og har optrådt som solist med de norske og en række af de førende nordiske orkestre, samt Minnesota Orchestra i USA. Han har har givet koncerter i Europa og Asien som spillende leder for nordiske kammerorkestre, bl.a. Det Norske Kammerorkester, Trondheimssolistene og Kapellets Kammerorkester, og i de seneste år har han stået i spidsen for orkestre som Sjællands Symfoniorkester og Lithuanian State Symphony Orchestra som dirigent. Jon har som aktiv kammermusiker indspillet mange cd'er og senest udgivet strygekvartetter af Schumann og Ravel med Poseidonkvartetten.